Die Vorlesung wendet sich an Studierende im Fachstudium und Doktoranden mit Interesse für Stochastik, Analysis, Funktionalanalysis und PDE. Voraussetzung sind Kenntnisse über Sobolev-Räume und Itô-Integration.
Der Malliavin-Kalkül ist eine in den vergangenen 40 Jahren entwickelte mathematische Theorie, die die Stochastische Analysis revolutioniert hat. Insbesondere werden Trajektorien stochastischer Prozesse als unendlich-dimensionale Vektoren in gewissen Maßräumen aufgefasst. Der Malliavin-Kalkül ist der zugehörige Differential- und Integralkalkül.
Primäre Literatur
[1] D. Nualart, The Malliavin Calculus and Related Topics, 2nd edition, Berlin Heidelberg: Springer 2006.
[2] D. Nualart, The Malliavin Calculus and Its Application, AMS 2009.
Zusätzliche Literatur
[3] S. Andres, Malliavin Calculus, Skript, Universität Bonn, 2016.
[4] N. Bouleau, F. Hirsch, Dirichlet Forms and Analysis on Wiener space, Berlin, New York: Walter de Gruyter 1991.
[5] G. Da Prato, Introduction to Stochastic Analysis and Malliavin Calculus, Edizioni della Normali 2008.
Umfang: Wöchentlich eine zweistündige Vorlesung, 7 Themen:
(1) Klassischer und abstrakter Wienerraum, Richtungsableitung und Gradient im Sinne des Malliavin-Kalküls, Cameron-Martin-Formel
(2) Divergenz im Sinne des Malliavin-Kalküls, Partielle Integration
(3) Ornstein-Uhlenbeck-Form, Ornstein-Uhlenbeck-Halbgruppe, Ornstein-Uhlenbeck-Operator
(4) Zugehörige Sobolev-Räume, Vergleich von endlich- und unendlich-dimensionalem Fall
(5) Itô-Integral, Skorokhod-Integral
(6) Stratonovich-Integral, L^2-Integral
(7) Anwendung des Malliavin-Kalküls -- Auswahl entsprechend der Interessen der Kursteilnehmer, z.B. PDE, SDE, unendlich-dimensionaler Zentraler Grenzwertsatz